De alreeds genoemde zaken en het boek van Kees Floor zijn goed. Maar hier een nog iets uitgebreidere reactie op met name je tweede bericht.
Volgens de ideale gaswet is de luchtdruk evenredig met de lokale temperatuur en luchtdichtheid. Dat geldt altijd in deze context. Maar in de praktijk zie je dat de temperatuur en luchtdichtheid niet willekeurig zijn. De zwaartekracht trekt de lucht naar beneden waardoor lucht zich ophoopt (luchtdichtheid neemt toe) boven het aardoppervlak en de luchtdruk onderin dus toeneemt terwijl bovenin de luchtdruk dan juist afneemt (luchtdichtheid neemt af). Dit drukverschil tussen onder en boven zorgt voor een opwaartse kracht die de zwaartekracht tegengaat, net zolang totdat deze elkaar precies opheffen. De luchtdichtheid neemt dus ongeveer exponentieel af naarmate je hoger komt. Dit gaat wel sneller in koude luchtsoorten (atmosfeer is 'dunner') dan warme ('dikkere' atmosfeer) vanwege het verschil in luchtdichtheid. De luchtdrukafname is evenredig met het gewicht van de lucht en is dus groter voor koude lucht met een hoge luchtdichtheid.
Dat de temperatuur tot op zekere hoogte afneemt, komt doordat stijgende lucht in een omgeving met een steeds lagere luchtdruk terechtkomt. Vanwege dit drukverschil zet de lucht uit en duwt de omringende lucht opzij. Dit kost arbeid (in dit geval: P*dV met P de luchtdruk en dV het verschil in volume voor en na expansie) en volgens de eerste hoofdwet van de thermodynamica zal de interne energie afnemen (als er geen warmte toegevoerd wordt, wat hier het geval is). Aangezien de temperatuur van een ideaal gas (zoals lucht) evenredig is met de interne energie, zal de temperatuur dus afnemen.
Wat betreft je tweede punt ligt het aan de schaal waarop stijgende luchtstromen plaatsvinden. In een buienwolk wordt de lucht omhoog geduwd doordat lokaal de zwaartekracht kleiner is (vanwege de lagere dichtheid van warme lucht) dan de hiervoor genoemde opwaartse kracht en er netto dus een kracht naar boven is. De lucht gaat hierdoor omhoog stromen. Als de verticale snelheid steeds groter wordt naarmate je hoger komt dan zal er een lokaal luchttekort ontstaan (er stroomt immers meer lucht weg dan dat er bij komt op een bepaald punt). Dat remt de verticale snelheid inderdaad, maar het luchttekort wordt ook gedeeltelijk gecompenseerd doordat er lucht vanaf de zijkanten (directe/omringende omgeving) toestroomt. Dus de stijgende lucht wordt iets afgeremd (met name hogerop in de wolk, waar de verticale versnelling maximaal is), maar zeker niet volledig.
Het luchtdrukverschil zal hooguit en paar tienden van een hPa zijn. Een uitzondering vormt de zogenaamde 'tornado-depressie' (zie https://www.knmi.nl/kennis-en-datacentrum/achtergrond/zware-windhozen-van-25-juni-1967). Dit is een lagedrukgebied met een grootte tot 10 km dat zich vlak in de buurt van een tornado bevindt (of een bui die een tornado zou kunnen voortbrengen). Hierbij kan de luchtdruk wel flink dalen (enkele hPa of soms meer).
Als lucht op grote schaal verwarmd wordt dan zal de luchtdruk aan de grond iets toenemen en langzaam beginnen te stijgen. Er ontstaat een klein luchttekort, maar in dit geval kan er geen lucht vanuit de omringende omgeving toestromen (omdat de luchtdruk overal evenveel toeneemt) waardoor de verticale beweging stopt. De lucht is wel iets uitgezet waardoor het 500 hPa hoger komt te liggen. Op grote hoogte zal de lucht poolwaarts gaan stromen en dit zorgt uiteindelijk wel voor dalende luchtdruk aan de grond.